RUANG METRIK EUCLIDEAN DALAM ANALISIS SIFAT KONVERGENSI BARISAN DAN ASPEK KELENGKAPANNYA

Abstract

Penelitian ini merupakan studi teoretis dalam bidang matematika murni yang mengkaji sifat konvergensi barisan dan kelengkapan pada ruang metrik Euclidean. Fokus utama terletak pada ruang Euclidean berdimensi hingga  yang dilengkapi dengan metrik Euclidean standar . Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka dengan mengumpulkan dan mempelajari berbagai sumber pustaka. Pada penelitian ini akan ditunjukkan bahwa  merupakan ruang metrik. Selain itu, akan disajikan sifat-sifat dari ruang Euclidean dan ruang metrik yang akan digunakan untuk membuktikan konvergensi barisan pada ruang metrik Euclidean. Lebih lanjut, dengan menggunakan sifat-sifat dari barisan Cauchy, akan ditunjukkan  merupakan ruang metrik lengkap. Penelitian ini menunjukkan bahwa konvergensi barisan dalam ruang metrik Euclidean ekuivalen dengan konvergensi barisan di . Konvergensi barisan di  dilengkapi dengan norma Euclidean, yaitu norma yang berasal dari hasil kali dalam standar (dot product). Lebih lanjut, ruang metrik Euclidean dikategorikan sebagai ruang metrik lengkap, karena kelengkapannya berkaitan dengan sifat konvergensi barisan dan keberadaan barisan Cauchy yang konvergen di dalamnya.

Kata Kunci: barisan Cauchy, konvergensi barisan, kelengkapan, ruang Euclidean, ruang metrik.